安徽省阜阳一中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学文试题 Word版含答案

发布时间:2021-11-28 04:02:31

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安徽省阜阳一中 2013-2014 学年高二上学期期末考试数学试题(文 科)
注意事项:1.在答题卷指定位置填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卷上

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合要求的。)

1.若复数 z ? 1 ? i ,则 z 的虚部为( ) 1?i

A.1

B. ?1

C.

D. ? i

2. 观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)

的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,…,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,

y)的个数为( ).

A.76

B.80 C.86

3.下列命题中的假命题是( )

A. ?x ? R,2x?1 ? 0

D.92
B. ?x ? R, lg x ? 1

C. ?x ? N? , (x ?1)2 ? 0
4.下列求导运算正确的是

A.

(1)? ? x

1 x2

C. (x2 cos x)? ? ?2x sin x

D. ?x ? R, tan x ? 2

(

)

B. ( e x )? ? xe x ? e x

x

x2

D.

(log 2

x)?

?

1 x ln

2

5.抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线方程为

()

A. y2 ? 8x

B. y2 ? 8 x 3

6.下列说法正确的是( )

C. y2 ? 3x

D. y2 ? 10 x 3

A. 函数的极大值大于函数的极小值 值点
C. 函数的最值一定是极值

B. 若 f ' (x0 ) ? 0 ,则 x0 为函数 f (x) 的极
D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值

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?2x ? y ? 4

7.设

x、y

满足

? ?

x

?

y

?

?1 ,

则目标函数 z=x+y(

)

??x ? 2 y ? 2

A.有最小值 2,无最大值

B. 有最小值 2,最大值 3

C.有最大值 3,无最小值

D.既无最小值,也无最大值

8.已知双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 ,则过点 (2,0) 且与该双曲线只有一个公共点的直线有( ) 4



A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知 P(x, y) 为函数 y ? x sin x ? cos x 上任意一点,f (x) 为点 P 处切线的斜率,则 f (x) 的

部分图像是( )

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

10.已知直线:y

?

kx

?

2(k为常数)过椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 B 和左焦点 F,

且被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 d ,若 d ? 4 5, 则椭圆离心率 e 的取值范围是( ) 5

A.

????

0, 5 5

?
? ?

B.

? ???

0,2

5 5

?
? ?

C.

????

0,3

5 5

?
? ?

D.

????

0,4

5 5

?
? ?

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应横线上)

11.函数 f (x) ? 2x2 ? ln x 的单调减区间是___________.

12.函数 y ? f ? x? 在 x ? 5 处的切线方程是 y ? ?x ? 8 ,则 f ?5? ? f ??5? ? __________

13.已知向量 m ? (a ? 2,?2) , n ? (?2,b ? 2) , m ∥ n ,且 a ? 0,b ? 0 ,则 ab 的最小值为
___________.
14.已知函数 f (x) ? ln x ? ax 有零点,则 a 的取值范围是________
15.对于等差数列{an}有如下命题:“若{an}是等差数列,a1=0,s、t 是互不相等的正整数, 则 有 (s - 1)at = (t - 1)as” . 类 比 此 命 题 , 给 出 等 比 数 列 {bn} 相 应 的 一 个 正 确 命 题 是 : “__________________________________ _______________________________________________”.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卷的指定区域内。)

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16.(12 分)已知 c ? 0 ,用分析法证明: c ?1 ? c ?1 ? 2 c .
17.(12 分)已知 p : 6 ? 1,q : x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 ,(其中 a ? R ,为常数)若 ? p 是 ?q
x?3 的充分而不必要条件,求实数 a 的取值范围.
18.(12 分)用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长 比宽多 0.5 米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.
19.(13 分)已知函数 f (x) ? 2ax ? 3 x2 ? 3ln x ,其中 a ? R ,为常数 2
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(1)若 f (x) 在 x∈[1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在 x∈[1,a]上的最大值。

20.(

13 分)

已知离心率为

3 2

的椭圆

C,其长轴的端点

A1 ,

A2

恰好是双曲线

x2 3

? y2

? 1 的左

右焦点,点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点,设直线 PA1, PA2 的斜率分别为 k1 , k2 .
(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)试判断乘积“ k1 ? k2 ”的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论;

(3)当 k1

?

1 2

,在椭圆

C

上求点

Q,使该点到直线

PA2

的距离最大。

21.( 13 分)已知函数 f (x) ? x3 ? 2x ? sin x ,( x ? R ) (1) 证明:函数 f (x) 是 R 上的单调递增函数; (2)解关于 x 的不等式 f (ax2 ? x) ? f (1? ax) ? 0 ,其中 a ? R .
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安徽省阜阳一中 2013-2014 学年高二上学期期末考试数学试题(文

科)参考答案

7.ABCDA DACBB

8.11.

?? ?

0,

1 2

?? ?



?? ?

0,

1 2

? ??

12. 2

13. 16

14.

?? ?

?

?,

1 e

? ??

? ? 15.若 bn

为等比数列, b1

? 1,s、t

是互不相等的正整数,则有

a s?1 t

?

a t ?1 s



? ? ? ? 三.16.要证原式成立,只需证明

c ?1 ?

2

2

c ?1 ? 2 c

即证 2c ? 2 c2 ?1 ? 4c

即证 c2 ?1 ? c

而 c ? 1,故只需证明 c2 ?1 ? c2
而此式成立,所以原不等式得证。

17. 6 ? 1 ? 9 ? x ? 0 ,可得 3 ? x ? 9 ,记集合 A ? ?3,9?

x?3

x?3

x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 ? ?x ? ?a ?1????x ? ?a ?1??? 0 可 得 a ?1 ? x ? a ?1 , 记 集 合

B ? ?a ?1, a ?1?

由 ? p 是 ?q 的充分而不必要条件,得 B ? A ,
解得 4 ? a ? 8

?a ?1 ? 3 所以 ??a ?1 ? 9

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18.设容器底面宽为 x m,则长为( x +0.5)m,高为(3.2-2 x )m.

由???3.2-2x>0, ??x>0,

解得 0< x <1.6,

设容器的容积为 ym3,则有

y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,

y′=-6x2+4.4x+1.6,

令 y′=0,即-6x2+4.4x+1.6=0, 解得 x=1,或 x=-145(舍去).

∵在定义域(0,1.6)内只有一个点 x=1 使 y′=0,且 x=1 是极大值点,

∴当 x=1 时,y 取得最大值为 1.8.

此时容器的高为 3.2-2=1.2m. 因此,容器高为 1.2m 时容器的容积最大,最大容积为 1.8m3.

19. f '(x) ? 2a ? 3x ? 3 ? ? 3x2 ? 2ax ? 3

x

x

(1)由题意知 f '(x) ? 0 对 x ??1,??? 恒成立,即 ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0
x

又 x ? 0 ,所以 ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立

即 3(x ? 1 ) ? 2a 恒成立 , 6 ? 2a ,所以 a ? 3 x

(2)依题意 f '(3) ? 0 即 ? 3?32 ? 2a ?3 ? 3 ? 0 ,解得 a ? 5 3

此时 f '(x) ? ? 3x2 ?10x ? 3 ? ? (x ? 3)(3x ?1) ,

x

x

易知 x ??1,3?时 f '(x) ? 0 ,原函数递增, x ??3,5?时, f '(x) ? 0 ,原函数递减;

所以最大值为 f ?3? ? 33 ? 3ln 3
2

20.解:(1)双曲线

x2 3

?

y2

? 1 的左右焦点为 (?2,0) ,即 A1, A2 的坐标分别为 (?2,0),(2,0) .

设椭圆

C

的标准方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) ,则 a ? 2 ,

且 e ? c ? 3 ,所以 c ? 3 ,从而 b2 ? a2 ? c2 ?1 , a2

所以椭圆 C 的标准方程为

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x2 ? y2 ?1 4

(2)设

P(x0 ,

y0

)



x0 2 4

?

y02 1

? 1,即 y0 2

?1?

x0 2 4

? 4 ? x02 4

k1 ? k2

?

y0 ? 0 ? x0 ? (?2)

y0 x0

?0 ?2

?

y02 x02 ? 4

??

1 4

.

所以 k1 ? k2 的值与点 P 的位置无关,恒

为? 1 . 4

(3)当 k1

?

1 2

时, k2

?

?1 2

,故直线 PA2 的方程为

y

?

? 1 (x ? 2) 2

即x ? 2y ?2

?

0,

设与 PA2 *行的椭圆 C 的切线方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ,与椭圆 C 联立得

? x2 ?

?

y2

?1

?4

消去 x 得 8y2 ? 4my ? m2 ? 4 ? 0 ................. ???

??x ? 2 y ? m ? 0

? ? 由 ? ? ?4m?2 ? 4 ?8? m2 ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 2 或 m ? ?2 2 (舍去),

代入 ??? 可解得切点坐标 ???? ?

2,?

2 2

????

即为所求的点

Q.

.21.(1) f '?x? ? 3x2 ? 2 ? cos x ,因为 2 ? cos x ? 0,3x2 ? 0 ,所以 f '?x? ? 0

所以函数 f (x) 是 R 上的单调递增函数

(2) x ? R, f ?? x? ? ? f ?x?,所以 f ?x? 是奇函数

f (ax2 ? x) ? f (1? ax) ? 0 ? f (ax2 ? x) ? ? f (1? ax) ? f ?ax ?1?

由(1)知函数 f (x) 是 R 上的单调递增函数,所以 ax2 ? x ? ax ?1

整理得 ax2 ? (a ?1)x ?1 ? 0 ,即 ?ax ?1??x ?1? ? 0

当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?1,??? ;当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?? ? ?, 1 ?? ? ?1,???
? a?

当 0 ? a ? 1时,不等式的解集为 ??1, 1 ?? ;当 a ? 1时,不等式的解集为? ; ? a?

当 a ? 1时,不等式的解集为 ?? 1 ,1?? ?a ?
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